• ΕΥΤΥΧΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

Το παράδοξο της ακτογραμμής και... τα fractals


unsplash.com

Το 1950, ο Βρετανός μαθηματικός Lewis Fry Richardson διερευνούσε τη συσχέτιση μεταξύ του μήκους των κοινών συνόρων δύο γειτονικών χωρών και της πιθανότητας να κηρυχθεί πόλεμος μεταξύ τους. Για την εργασία του, χρειαζόταν να γνωρίζει το μήκος των συνόρων μεταξύ της Ισπανίας και της Πορτογαλίας. Όταν όμως έψαξε το επίσημο μήκος, παρατήρησε ότι τα δύο κράτη ανέφεραν δύο διαφορετικές τιμές για το συνολικό μήκος των κοινών συνόρων τους. Μια μικρή απόκλιση σε τέτοιες μετρήσεις δεν ήταν βέβαια ασυνήθιστη, άλλωστε, τα σφάλματα μέτρησης είναι, ακόμα και σήμερα, αρκετά κοινά. Το πρόβλημα ήταν ότι αυτές οι δύο αυτές τιμές διέφεραν μεταξύ τους κατά περισσότερο από διακόσια χιλιόμετρα. Μια τέτοια απόκλιση δεν θα μπορούσε να είναι σφάλμα στρογγυλοποίησης.


Πώς μπορούσαν δύο μετρήσεις για το ίδιο αντικείμενο να είναι τόσο πολύ διαφορετικές;

Έτσι λοιπόν γεννήθηκε αυτό που ονομάστηκε "παράδοξο της ακτογραμμής" (coastline paradox), όλο το πρόβλημα δηλαδή που αναπτύχθηκε με την διατύπωση αυτού του ερωτήματος. Σε κάθε περίπτωση, γνωρίζουμε ότι το Ηνωμένο Βασίλειο καταλαμβάνει την δωδέκατη θέση σε μήκος ακτογραμμής στον κόσμο. Πώς όμως μετράει κάποιος με ακρίβεια τα σύνορα στεριάς - θάλασσας, όταν αυτά αποτελούνται από βραχώδη άκρα με ατελείωτα εξογκώματα που φέρουν, με τη σειρά τους, ατελείωτα μικρότερα εξογκώματα; Και πώς μπορεί ένας τέτοιος περίπλοκος υπολογισμός να δώσει ικανοποιητικά ακριβές αποτέλεσμα;


Η ακτογραμμή του Ηνωμένου Βασιλείου δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια.

Η απάντηση, για άλλη μια φορά, δίνεται από τα μαθηματικά. Μια τέτοια ακτογραμμή, σαν του Ηνωμένου Βασιλείου, μπορεί να προσεγγιστεί από το περίγραμμα ενός περίπλοκου γεωμετρικού σχήματος που ονομάζεται φράκταλ. Τα φράκταλς είναι σχήματα που επαναλαμβάνονται αυτούσια σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης. Πρόκειται, δηλαδή, για "μαγικές εικόνες" που όσες φορές και να μεγεθυνθούν, οποιοδήποτε τμήμα τους θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα πανομοιότυπο σχέδιο με το αρχικό.



Κάνοντας zoom στο fractal του Mandelbort,  που πήρε το όνομα του από τον άνθρωπο που ανακάλυψε την ύπαρξη τέτοιων στοιχείων. Παρατηρούμε ότι το αρχικό μοτίβο επαναλαμβάνεται, άπειρες, ουσιαστικά, φορές. (Πηγή: en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set#)

Αν όμως έπρεπε να μετρήσουμε το μήκος της ακτογραμμής θεωρώντας την ως το περίγραμμα ενός φράκταλ, προσθέτοντας δηλαδή όλες τις μικρές γραμμούλες που την αποτελούν μεταξύ τους, τότε το άθροισμα τους θα αυξανόταν διαρκώς, προσεγγίζοντας το άπειρο αντί να πλησιάζουν έναν συγκεκριμένο αριθμό. Αλλά είναι δυνατόν μια περιοχή με συγκεκριμένη έκταση να έχει άπειρο μήκος περιγράμματος; Η απάντηση, μάλλον προφανής, είναι πως όχι, κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό.


Πηγή: www.forgingmind.com

Περίπου μία δεκαετία μετά από την γέννηση του "παράδοξου της ακτογραμμής", o Γαλλο-Αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbort εισήγαγε την έννοια των φράκταλς, και μαζί με αυτήν κατόρθωσε να προσδιορίσει και τον ρυθμό με τον οποίο ένα χαρακτηριστικό του φράκταλ μεγεθύνεται. Με άλλα λόγια, κατάφερε να δώσει μια απάντηση στο ερώτημα "πόσο γρήγορα τείνει στο άπειρο το περίγραμμα ενός σχήματος με πολλές λεπτομέρειες;". Επομένως, το μόνο που απέμενε σε όσους ήθελαν να υπολογίσουν το μήκος μιας συνοριακής γραμμής ήταν να ορίσουν ένα πολύ μικρό μήκος ως το ελάχιστο χαρακτηριστικό που θα έπρεπε να λάβουν υπόψη τους σε έναν τέτοιο υπολογισμό, και στη συνέχεια, με την χρήση γνωστών μαθηματικών, να υπολογίσουν με ικανοποιητική προσέγγιση το ζητούμενό τους.

Η γεωμετρία των φράκταλς είναι μαγευτική. Και γίνεται ακόμα περισσότερο, αν αναλογιστεί κανείς ότι γεννήθηκε εξ αφορμής ενός φυσικού φαινομένου, κι ότι συναντάται παντού στην φύση. Στα λουλούδια, στις σπείρες σαλιγκαριών, στο μπρόκολο, σε έναν κεραυνό.


Fractals στην φύση. (Πηγές: www.starsinsider.com, www.pinterest.com)




2.png

follow us on Instagram @atheniantimes.gr

"Νέα άποψη σε Αθηναϊκούς καιρούς"
- ΟΙ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΜΑΣ -
Εικόνα1.png
LACREDI LOGO.png
- ΔΙΑΦΗΜΙΣΤΕΙΤΕ -
  • Black Facebook Icon
  • Instagram
Εικόνα1.png
Εικόνα1.png